设a、b、c都是整数，过圆x^2+y^2=(3a+1)^2外一点P(b^3-b,c^3-c)

设直线方程中一个变量是整数，再将另一个变量用这个变量表示，证明另一个变量不是整数即可

首先计算切线的方程
切点就是这个圆和以(0,0)和P为直径的圆的交点
另外一个圆的方程是
(x-(b^3-b)/2)^2+(y-(c^3-c)/2)^2=(b^3-b)^2/4+(c^3-c)^2/4
所以和X^2+Y^2=(3a+1)^2相交
切点连线就是
(x-(b^3-b)/2)^2+(y-(c^3-c)/2)^2-x^2-y^2=(b^3-b)^2/4+(c^3-c)^2/4-(3a+1)^2
也就是
(b^3-b)x+(c^3-c)y=(3a+1)^2
所以
(b-1)b(b+1)x+(c-1)c(c+1)y=(3a+1)^2
如果有整数解
则xy都是整数
则(b-1)b(b+1)x必然能被3整除
(c-1)c(c+1)y必然能被3整除
所以左边必然能被3整除
而右侧=(3a+1)^2=9a^2+6a+1必然不能被3整除
因此出现矛盾
证明xy不能都是整数